Innovative optimization-based numerical methods for modeling the non-linear behavior of steel structures
Méthodes numériques efficaces et innovantes pour la modélisation non-linéaire des structures des charpentes métalliques
Résumé
This work is the product of a three-year collaboration between “Laboratoire Navier” and the civil engineering firm “Strains”. It has been shaped by following the needs of the construction industry for a more reliable, efficient, robust and easy-to-use structural analysis software.Departing from traditional numerical methods used in non-linear finite-element analyses, this work aims at adapting and extending the use of optimization-based algorithms to solve a wide range of non-linear mechanical problems.
Based on a solid convex-optimization mathematical theory, the primal-dual interior point method is nowadays becoming a reliable technology capable of handling various non-linear and non-smooth problems. Various mechanical behavior such as plasticity or contact conditions can be written using second-order cone complementarity problems which perfectly fits in the conic optimization framework. Under the small-strain assumption, the elastoplastic contact problem can be cast as a pair of dual optimization problems. These problems can also be extended to the upper and lower bound theorems of yield design/limit analysis theory. Appropriate displacement and stress-based finite-element discretization strategies are chosen and the corresponding minimization problems are then solved using a state-of-the art primal-dual interior-point solver coded from scratch, yielding respectively an upper and a lower bound estimate of the exact solution. The proposed framework is illustrated and validated through various steel structure examples and the results are compared to other finite-element commercial software and Eurocode design recommendations. Its efficiency compared to a standard step-by-step Newton procedure, is proven via important savings in computational time, mainly due to its remarkable robustness with respect to large load steps.
The framework has also been extended to a non-convex setting involving finite-strain plasticity using a total Lagrangian formulation based on a logarithmic strain measure. The proposed extension of the interior-point algorithm is implemented and tested on 3D examples involving plastic collapse and geometrical changes. Comparison with classical Newton-Raphson/return mapping methods shows that the interior-point method still exhibits good computational performance, especially in terms of convergence robustness. Similarly to what is observed for convex small-strain plasticity, the interior-point method is able to converge for much larger load steps than classical methods.
Finally, the potentialities of the proposed framework is illustrated on various complex engineering problems taken from various design studies such as 3D steel assemblies or the second-order analysis of a steel bridge section.
Ce travail est l'aboutissement de trois ans de collaboration entre le Laboratoire Navier et la société Strains. Les axes de recherche traités ont été motivés par le besoin de l'industrie d'un renouvellement des méthodes actuelles en calcul non-linéaire des structures. Cette thèse tente de développer des outils numériques robustes, efficaces et faciles d'usage, basés sur des algorithmes d'optimisation en guise d'alternative aux méthodes non-linéaires plus traditionnelles.
Reposant sur les fondements de la théorie d'optimisation convexe, les méthodes de point-intérieur sont aujourd'hui la technique incontournable pour la résolution de divers problèmes d'optimisation, en particulier dans le cas non-différentiable. A travers le formalisme des conditions de complémentarité sur des cônes du second-ordre, plusieurs comportements mécaniques comme la plasticité ou les conditions de contact peuvent s'exprimer sous la forme de problèmes coniques pouvant être résolus efficacement grâce à la méthode de point intérieur. Sous l'hypothèse des déformations infinitésimales, le problème élastoplastique avec contact peut être écrit dans sa forme faible comme une paire de problèmes d'optimisation duaux. Ces deux problèmes se rapprochent des théorèmes cinématique et statique du calcul à la rupture/analyse limite et fournissent des bornes supérieure et inférieure de la solution exacte. En utilisant des discrétisations par des éléments finis cinématique et statique convenables, les problèmes de minimisation sont résolus avec l'algorithme de point intérieur présenté et spécifiquement développé par l'entreprise. L'outil numérique est illustré à travers divers exemples de structures métalliques et les résultats sont comparés à ceux obtenus par des logiciels d'éléments finis commerciaux et aux recommandations de l'Eurocode. L'efficacité de l'algorithme est mise en avant grâce à une réduction significative des temps de calculs surtout due à sa remarquable robustesse vis-à-vis de grands pas de chargements, contrairement aux méthodes classiques.
L'approche est étendue au cas non-convexe de la plasticité en grandes transformations en utilisant une approche par Lagrangien total et une mesure logarithmique des déformations. L'algorithme de point intérieur est alors adapté et testé sur des exemples 3D illustrant les effets de changement de géométrie et les concentrations des déformations plastiques. Comparé à la méthode de Newton-Raphson avec un algorithme de retour radial, la méthode de point intérieur garde plusieurs de ses avantages numériques surtout en terme de robustesse. Comme observé pour les problèmes précédents, il est possible de converger vers une solution en utilisant des pas de chargement assez larges.
Finalement, les potentialités de ce nouvel outil numérique et ses avantages industriels sont illustrés dans divers exemples issus d'études d'ingénierie comme le calcul d'assemblages 3D complexes et l'étude au second-ordre d'un caisson de pont métallique.