Ce manuscrit propose des approches innovantes pour résoudre les problèmes de mécanique non linéaire en s’appuyant sur l’analyse convexe et l’optimisation. Il introduit les concepts fondamentaux de l’optimisation convexe, en mettant en lumière les algorithmes et solveurs adaptés aux applications mécaniques. Les principes variationnels en mécanique des solides et des structures y sont approfondis, avec une attention portée aux matériaux dissipatifs. La théorie de l’analyse limite est enrichie par des outils numériques polyvalents, appliqués à des structures variées, comme les plaques, les coques ou les ouvrages en béton armé. Ces outils sont ensuite étendus à l’optimisation de forme et de topologie, visant à maximiser la capacité portante des structures tout en abordant les défis liés aux conceptions multi-matériaux. Des stratégies novatrices sont également proposées pour intégrer les incertitudes, à travers des approches d’optimisation robuste et stochastiques. Enfin, des méthodes originales de régularisation des comportements adoucissants, telles que la modélisation des fractures dynamiques et la plasticité, sont développées, permettant de relier des problèmes non convexes à des formulations convexes pour une résolution plus efficace. Ce travail établit un lien fort entre les avancées théoriques et les défis pratiques de l’ingénierie mécanique, en proposant des outils et des méthodologies innovants.